lectures: fix something here and there
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6bf30632a0
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4d73974190
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@ -4,9 +4,9 @@
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È il rapporto tra la variazione percentuale del risultato e la variazione
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percentuale del dato in ingresso. È un parametro utile per controllare se
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un problema sia mal o ben condizionato.
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Nel caso di una funzione f, questo parametro si riduce ad essere
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10.1016/0168-9002(90)91334-8
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un problema è mal o ben condizionato.
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Nel caso di una funzione f, questo parametro si riduce ad essere:
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x f'(x) / f(x)
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e il limite per l'incremento dei dati iniziali tendente a zero è detto
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@ -36,10 +36,10 @@ da cui si ottiene il `teorema di Bayes`:
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# Correlazione tra variabili
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Si può usare per determinare se una teoria sia valida oppure no dato un certo
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campione sperimentale (A è la teoria e B sono i dati). P(A ⋂ B) è la joint pdf.
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campione sperimentale (A è la teoria e B sono i dati). P(A|B) è la joint pdf.
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Le `convoluzioni di Mellin e Fourier` servono per trovare la pdf di una
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variabile che è rispettivamente il prodotto o la somma di altre due variabili
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con pdf nota (dimostrazione cartacea).
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con pdf nota.
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La `covarianza` cov(x, y) è definita come:
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cov(x, y) = E[x * y] - (μx * μy) = E[(x - μx)*(y - μy)]
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@ -69,29 +69,29 @@ sommano in quadratura su tutta la matrice di covarianza.
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Abbiamo visto diversi tipi:
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- Binomiale
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/ N \ E[n] = N*p
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P(n, N, p) = | | p^n (1 + p)^(N - n) con
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\ n / V[n] = N*p*(p-1)
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P(n, N, p) = | | p^n (1 - p)^(N - n) con
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\ n / V[n] = N*p*(1-p)
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da cui si può poi ricavare la multinomiale.
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- Poissoniana
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ν^n
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P(n, ν) = --- e^(-ν) con E[n] = V[n] = ν
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n!
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ν^n E[n] = ν
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P(n, ν) = --- e^(-ν) con
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n! V[n] = ν
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Si ottiene dal caso precedente per N→∞ e p→0 con N*p = ν.
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- Uniforme
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1 E[x] = (a + b)/2
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P(x, b, a) = ----- con
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b - a V[x] = (b - a)^2/12
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P(x, a, b) = ----- con
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b - a V[x] = (b - a)²/12
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- Gaussiana
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1 / (x - μ)^2 \ E[x] = μ
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G(x, μ, σ) = -------- e^| - --------- | con
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√(2 π) σ \ 2 σ^2 / V[x] = σ^2
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1 / (x - μ)² \ E[x] = μ
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G(x, μ, σ) = -------- e^| - -------- | con
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√(2 π) σ \ 2 σ² / V[x] = σ²
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È il limite delle prime due distribuzioni per N→∞.
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Il `teorema centrale` del limite dice che se una variabile è la somma di N
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Il `teorema centrale del limite` dice che se una variabile è la somma di N
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variabili indipendenti tutte con la stessa pdf con valore medio μi e devstd σi,
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allora tale variabile ha distribuzione Normale con:
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@ -108,7 +108,7 @@ kurtosis:
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γ = E | -------- | k = E | -------- | - 3
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| σ³ | | σ⁴ |
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dove X è la media campionaria e 3 è la kurtosis della Gaussiana.
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dove X e σ sono la media e la varianza e k = 3 - 3 = 0 per la Gaussiana.
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# Test di ipotesi
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@ -128,7 +128,7 @@ Noi abbiamo sempre controllato solo qual è la pdf della statistica di test nel
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caso in cui l'ipotesi nulla sia vera e abbiamo posto il livello di confidenza
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al 95%, ovvero α = 5%.
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La potenza è detta anche purezza perché è la probabilità di scambiare "rumore
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per segnale", mentre l'intervallo di confidenza si dice anche efficienza perché
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per rumore", mentre l'intervallo di confidenza si dice anche efficienza perché
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è la probabilità di scambiare "il segnale per segnale".
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Il `lemma di Neyemann Pearson` dice che la statistica di test che massimizza la
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@ -176,29 +176,29 @@ non vuol dire che sia significativo.
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@4 ----------------------------------------------------------------------------
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# Stima di parametri
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# Stima di parametri (1)
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Consideriamo una variabile casuale x che segue la pdf f(x), la quale ha dei
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parametri Θ. Se io faccio una misura y di questi, allora otterrò uno stimatore
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⊇(y) dei parametri Θ. Anche questo stimatore avrà una sua pdf che dipende dal
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valore vero. Uno stimatore deve soddisfare alcuni requisiti:
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- consistenza: per N→∞, ⊇→Θ;
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- consistenza: per N→∞, ⊇→Θ (convergenza in senso statistico);
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- unbias: E[⊇] = Θ
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Ovvero: ripetendo tante volte l'esperimento, il valore medio della
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distribuzione deve essere il valore vero;
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- deve avere una piccola varianza.
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Per esempio, la media campionaria è uno stimatore della media e la sua varianza
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è σ²/N, nel senso che se si ripetesse lo stesso esperimento tante volte e si
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guardasse la distribuzione delle medie così ottenute, otterremmo che queste
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medie seguono una pdf con questa varianza. Affinché lo stimatore della varianza
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sia unbiasato, si deve introdurre la correzione di Bessel.
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Per esempio, la media campionaria è uno stimatore consistente e unbiased della
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media e la sua varianza è σ²/N, nel senso che se si ripetesse lo stesso
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esperimento tante volte e si guardasse la distribuzione delle medie così
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ottenute, otterremmo che queste medie seguono una pdf con questa varianza.
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Affinché lo stimatore della varianza sia unbiased, si deve introdurre la
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correzione di Bessel.
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Un metodo che si può utilizzare è la maximum Likelihood. Se lo si applica al
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caso di una gaussiana, si trova che gli stimatori della media e della varianza
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sono la media e la varianza campionarie. Quest'ultima va però corretta con la
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correzione di Bessel.
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sono la media e la varianza campionarie.
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La disuguaglianza di `Cramer-Rao` (detto anche bound RCF) afferma che la matrice
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di covarianza è >= all'inverso della matrice Hessiana di -L calcolata nel
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@ -207,14 +207,6 @@ minimo.
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Uno `stimatore robusto` è poco sensibile ai valori nelle code della
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distribuzione. È buono che gli stimatori siano robusti. Un esempio è la media
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trimmata, in cui nel calcolo si escludono i punti più esterni.
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Quando si sta lavorando con una gaussiana contaminata, ovvero che è la somma
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di due gaussiane in cui la seconda è, per esempio, il rumore, ed ha una
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varianza maggiore, allora anziché usare la varianza campionaria standard,
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è meglio usare d_n:
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1
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d_n = - Σi |xi - X|
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N
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L'`extended maximum Likelihood` si usa quando non ho deciso io il numero di
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dati ma è esso stesso una misura sperimentale (come nel caso dei decadimenti):
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@ -224,7 +216,7 @@ di ottenere degli stimatori con minore varianza.
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@5 ----------------------------------------------------------------------------
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# Stima di parametri
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# Stima di parametri (2)
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Il χ² è il metodo della Maximum Likelihood nel caso in cui:
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@ -244,9 +236,10 @@ Di solito si guarda poi il `χ² ridotto` e il fit è buono se è prossimo a uno
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IMPORTANTE:
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Il metodo della Likelihood e quello dei momenti si usano quando si hanno punti
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distribuiti secondo una pdf e si vogliono stimare i parametri della pdf. NON
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si hanno delle y(x). Il metodo del χ², invece, si usa per trovare la funzione
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che lega le y alle x. Se lo si vuole usare con dei dati ottenuti da una pdf,
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allora bisogna binnarli in modo tale da ottenere le y.
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se si hanno delle y(x). Il metodo del χ², invece, si usa per trovare la
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funzione che lega le y alle x (che poi abbiamo visto equivalere alla ML). Se
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lo si vuole usare con dei dati ottenuti da una pdf, allora bisogna binnarli
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in modo tale da ottenere le y.
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Quando ci sono dei problemi nella minimizzazione del χ², si può provare ad
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usare il `metodo dei momenti`, anche se generalmente dà risultati con maggiore
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@ -263,6 +256,16 @@ trovano col χ² sono infatti quelli con la varianza minima).
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L'errore è dato dalla propagazione degli errori (che è il solito U = AVA^T).
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Il `teorema di Wilks` asserisce che la grandezza:
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/ L(μ) \
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t = - 2 * ln | ---------- |
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\ L(μ_true)/
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è distribuita come un χ². È facile dimostrarlo supponendo che i dati siano
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attribuiti attorno ai relativi valori veri come Gaussiane centrate nei valori
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veri con devstd data da quella campionaria.
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@6 ----------------------------------------------------------------------------
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# Intervalli di confidenza
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@ -277,12 +280,11 @@ Dire che:
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x = x₀ ± δx CL = 68%
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significa che ripetendo N volte l'esperimento, il 68% delle volte si otterrà
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che x₀ appartiene a quell'intervallo (non che il valore vero ha il 68% di
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probabilità di essere in quell'intervallo, che non ha alcun senso...).
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Quando si vuole stimare la media di una distribuzione, per il CLT questa segue
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una distribuzione gaussiana per N→∞ e quindi gli intervalli di confidenza sono
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noti, date le σ.
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significa che ripetendo N volte l'esperimento, il 68% delle volte il valore
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vero sarà dentro l'intervallo (non che il valore vero ha il 68% di probabilità
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di essere in quell'intervallo, che non ha alcun senso...). Quando si vuole
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stimare la media di una distribuzione, per il CLT questa segue una distribuzione
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gaussiana per N→∞ e quindi gli intervalli di confidenza sono noti, date le σ.
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La `quantile` di 0.5 è la mediana. Il che significa che la quantile è l'inversa
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della cumulativa.
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@ -291,8 +293,6 @@ un intervallo di confidenza pari a 1 - α - β. Dovrò trovare gli estremi a e b
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che corrispondono a tali valori e per farlo dovrò utilizzare la quantile
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dell'area che mi serve.
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PARTE CHE NON SI CAPISCE UN TUBO
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@7 ----------------------------------------------------------------------------
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# Minimizzazione
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@ -302,15 +302,23 @@ la sua derivata prima sia nulla.
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Non esiste un metodo che con certezza identifichi il `minimo globale` di una
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funzione.
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Data la precisione finita dei floating point, non si può cercare un minimo
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annullando la derivata prima. Al più si può porre un valore di tolleranza.
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Data la precisione finita dei floating point, non si può trovare esattamente il
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minimo: si troverà f(x) = f(x_min) + 1/2 d²f/dx² |x - x_min|. Si può porre un
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valore di tolleranza per cui:
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f(x) ~ f(x_min) se f(x_min) >> 1/2 d²f/dx² |x - x_min|²
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1/2 d²f/dx² |x - x_min|² / 2 ε f(x_min) \
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→ ε >> ------------------------ → |x - x_min| << | -------------- |^(1/2)
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f(x_min) \ d²f/dx² /
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Vediamo un po' di metodi.
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- `Metodo di bisezione`:
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Si può usare quando gli estremi sono a > 0 > b e la funzione è monotona. Si
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divide a metà e si guarda se è positivo o negativo e poi si aggiornano gli
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estremi in modo da tenere i due vicini a segni opposti.
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Per trovare la radice di una funzione. Si può usare quando gli estremi sono
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f(a) > 0 > f(b) e la funzione è monotona. Si divide a metà e si guarda se è
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positivo o negativo e poi si aggiornano gli estremi in modo da tenere i due
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vicini a segni opposti.
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- Metodo analogo:
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Se invece la funzione è di forma pseudoparabolica con estremi a e b, allora
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@ -451,9 +459,12 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
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μj = (νi - βi) Rij^-1 ~ (ni - βi) Rij^-1
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Massimizzando la Likelihood, si ottengono stimatori unbias e con varianza
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minima n_i = ν_i. Se si fa così, però, non assomigliano affatto a quelli
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corretti. Si deve accettare di minimizzare la varianza: `procedura di
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unfolding generalizzata`.
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minima n_i = ν_i. Se si fa così, però, siccome il problema dell'unfolding
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è mal posto, si ottiene che se i dati veri sono lievemente diversi da
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quelli misurati, il risultato sarà molto diverso da quello ottenuto.
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Ciò si traduce nell'ottenere una varianza enorme sui valori μi. Si deve
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accettare di aumentare il bias per poter minimizzare la varianza:
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`procedura di unfolding generalizzata`.
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- `Metodo dei fattori di correzione`:
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I valori veri vengono stimati come:
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@ -472,10 +483,11 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
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Questo metodo funziona bene se non c'è molta migrazione tra bin e bin: è
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valido per dare una prima idea.
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- `Unfolding generalizzato`:
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- `Unfolding regolarizzato`:
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In questo caso si cerca sempre uno stimatore bias con varianza maggiore ma
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si cerca di ottenere una soluzione più liscia: lo si fa ponendo un limite Δ
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alla differenza tra L_max e L(μ) usato:
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alla differenza tra le likelihood L_max e L(μ) usata (per non allontanarsi
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troppo dalla soluzione ottimale):
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L(μ) >= Lmax - ΔL
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@ -487,7 +499,7 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
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f(μ) = αL(μ) + S(μ)
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Per cominciare si fissa α, considerando che:
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Per cominciare si fissa α in base al ΔL scelto, considerando che:
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- per α = 0 si ottiene la soluzione più smooth che però ignora i dati;
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- per α → ∞ la soluzione non è smooth, perché massimizzare f(μ) equivale
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semplicemente a scegliere L(μ) = Lmax.
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@ -495,7 +507,7 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
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Σi νi = Σij Rij μj = Ntot
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E quindi ci ri riduce al metodo dei moltiplicatori di Laplace, ovvero si
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E quindi ci ri riduce al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ovvero si
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deve massimizzare:
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f(μ) = αL(μ) + S(μ) + λ[Ntot - Σij Rij μj]
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@ -508,7 +520,7 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
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tende a 0, più la funzione è liscia. Chiaramente, trattandosi di dati
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discreti, si fa la derivata numerica tra bin consecutivi.
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- `Regolarizzazione col Max Ent`:
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- `Regolarizzazione con il Max Ent`:
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Si usa la definizione di entropia per un set di probabilità pi:
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H = - Σi pi ln(pi)
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@ -519,8 +531,9 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
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pi = μi/Ntot
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Per quanto riguarda la scelta di α, in genere lo si sceglie minimizzando
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la matrice di covarianza, cioè il χ².
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Per quanto riguarda la scelta di α, essa rappresenta un compromesso tra
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bias (L(μ)) e varianza (S(μ)). in genere lo si sceglie minimizzando la
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matrice di covarianza, cioè il χ².
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@10 ---------------------------------------------------------------------------
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@ -541,7 +554,7 @@ rilevato.
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In un pc, i dati vengono salvati in formato binario. Mentre per i numeri la
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conversione è immediata, per il linguaggio alfanumerico sono state inventate
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delle `codifiche` come per esempio il codice ASCII o l'UTF8. La tabella unicode
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contiene tutti codepoint e descrive come eventualmente si fondono.
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contiene tutti i codepoint e descrive come eventualmente si fondono.
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Il `bus` è l'insieme delle linee elettriche che collega vari dispositivi,
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ognuno dei quali è identificato univocamente da un indirizzo. I dispositivi
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